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2016.09.06 Tuesday
クォータ二オン (四元数)と複素数とでの考え方 Dimensions 5 Japanese さまより

 

http://docs.unity3d.com/jp/current/Manual/QuaternionAndEulerRotationsInUnity.html

 

--

 

オイラー角とクォータ二オンの違い

オイラー角

オイラー角は、3つの角度の値を X、Y、Z 軸に順に当てはめて回転を表す簡易な方法です。オイラー角をあるオブジェクトに応用する場合は、オブジェクトを各軸に沿って与えられた角度で回転させます。

  • 利点 - オイラー角は、3つの角度から構成される直感的で「人間が理解できる」フォーマットで表現されています。
  • 利点 - オイラー角は、180度以上の回転を経て、1つの向きから別の向きへの回転を表現できます。
  • 制限 - オイラー角はジンバルロック (Gimbal lock) として知られている制限があります。対象をそれぞれの軸に沿って順に回転させるとき、第一、第二の回転によって、結果的に 3つ目の軸にそろってしまうことがあります。つまり、第三の回転値を 3つ目の軸に反映できないために、「角度の自由」が失われてしまいます。

クォータ二オン

クォータニオンは、オブジェクトの向きや回転を表すのに使用されます。この表現法では、内部で 4つの数字 (Unity では x、y、z、w と呼びます) で構成されています。ただし、この数字は、角度や軸を表現しているわけでなく、通常、直接アクセスすることはありません。クォータ二オン (四元数)について特別に興味がない限り、クォータニオンが 3D 空間の回転を表しているのだということを知っているだけで十分で、通常、x、y、z プロパティーを操作したり変更することはありません。

ベクトルが位置と方向 (方向は原点から測ります) を表現するのと同様に、クォータ二オンは向きと回転を表現できます。回転は、回転「基準」か「単位」を基準に測られます。回転を、ある向きからもう一方の向きへの方向として計測するため、クォータ二オンでは、180度より大きな回転を表現することができません。

  • 利点 - クォータ二オンの回転は、ジンバルロックの影響を受けません。
  • 制限 - 単体のクォータ二オンでは、180度を超す回転を表すことができません。 (果たしてそうだろうか?)
  • 制限 - クォータ二オンの数的表現は、直感的に理解できません。 (そうだろうか?)

-

-

https://www.youtube.com/watch?v=66VZBMAPn3E

-

--

1にマイナス1をかけるとマイナス1だ 180度回転

-

1に

 

いったんルートマイナス1かけると 90度になる

-

-

- ( マイナス 1の平方根はなく虚数iとされるが)

- ルートマイナス1 であらわさず一旦 i としてあらわすと世界が見えてくる

 

-

-これは座標系ととらえることができる。

-そして  ( 1,0+2,0i 複素数) と ( 3,0+1,0i  複素数) のたしざんができる。

    1,0+2,0i

+  3,0+1,0i

--------------

    4,0+3,0i

 

-

複素数をに2をかけることもできる

  1,0+1,0i

        x 2

-----------

  2,0+2,0i

 

-

-

複素数にiをかけることもできる iは90度回転だからだ。

   3,0+1,0i

         x i

------------

  -1,0+3,0i

 

複素数どうしの掛け算はどうだろう?

     2,0+1,5i

 x -1,0+2,4i

----------------

 

これを計算してみると

(2+1,5i).(-1+2,4i)

左辺 2 と 1.5i にそれぞれかけるとこうなり

=2(-1+2,4i)+1,5i(-1+2,4i)

それぞれ,かけていこう。

= -2+4,8i   -1,5i+ 3,6i.i

iは-1の平方根なのでi かける iはマイナス1だ。

= -2+4,8i   -1,5i -3,6

すこしiについて整理すると

= -2 -3,6 +4,8i -1,5i

-5.6    +3.3i

グラフで示すとこうなる。

これは おどろくべきことで、平面状の点 通常(x,y) をあらわすのに 1つの数(1+1i)で 足りるということだ。

 

黄色の長さを測ってみよう=これは絶対値をはかることができる。

また 複素数の絶対値 x  複素数の絶対値 =  複素数 x  複素数 の絶対値  となる。

角度を見てみよう!

複素数の角度は 原点からのびる、その プラス 水平面からの角度だ

二つの複素数の角度は36,8c +112,6c =149,4c「かけあわせた複素数」の和だ

 

| whaison | Unity3d | 17:06 | comments(0) | - | pookmark |
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